Materi SMA : Fungsi (Relasi) Matematika

Oleh Naufaldi

Wednesday, February 13, 2013

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunanyang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Ringkasan Materi

A. Relasi

Aturan yang menghubungkan setiap anggota himpunan A ke B disebut Relasi dari A ke B.

Di tulis : R : A→B.

Istilah-istilah :

Himpunan A disebut Domain = Daerah Asal

Himpunan B disebut Kodomain = Daerah Kawan

Range = Daerah Hasil

B. Menyatakan Relasi

Relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu :

1. Diagram Panah

2. Himpunan Pasangan Berurutan

3. Grafik Cartesius

C. Produk Cartesius

Jika x ϵ A dan y ϵ B, maka produk Cartesius A ke B adalah himpunan pasangan berurutan (x, y).

Ditulis : AxB ={(x, y)І xϵ A dan yϵ B}

Contoh :

A = {a, b, c}

B = {1, 2}

maka dengan menggunakan tabel A x B di peroleh :

A x B	1	2
a	(a, 1)	(a, 2)
b	(b, 1)	(b, 2)
c	(c, 1)	(c, 2)

A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

Sifat-sifat :

1. A x B ≠ B x A

2. n(A x B) = n(B x A)

D. Pemetaan (Fungsi)
Pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota himpunan B.

Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi merupakan penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang akan menghasilkan sebuah fungsi baru.

Komposisi dua fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ dinotasikan dengan simbol $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ .

dimana

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$

Sifat Komposisi Fungsi

$(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)$
$(f\circ (g\circ h))(x)=((f\circ g)\circ h)(x)$

Contoh :

diberikan fungsi :

${\color{Red} f(x)=2x+1}$

${\color{Blue} g(x)=3x^2}$

${\color{DarkGreen} h(x)=\frac{1}{x+4}}$

1. $(f\circ g)(x)$ = ….?

* fungsi $g(x)$ disubtitusikan ke fungsi $f(x)$

$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=&{\color{Red} f}({\color{Blue} g(x)})\\&=&{\color{Red} f}({\color{Blue} 3x^2})\\&=&{\color{Red} 2(}{\color{Blue} 3x^2}{\color{Red} )+1}\\(f\circ g)(x)&=&6x^2+1 \end{align*}$

2. $(g\circ h)(x)$ = ….?

* fungsi $h(x)$ disubtitusikan ke fungsi $g(x)$

$\begin{align*}(g\circ h)(x)&=&{\color{Blue} g}({\color{DarkGreen} h(x)})\\&=&{\color{Blue} g}({\color{DarkGreen} \frac{1}{x+4}})\\&=&{\color{Blue} 3}\left ({\color{DarkGreen} \frac{1}{x+4}} \right )^{\color{Blue} 2}\\&=&3\left (\frac{1}{x^2+8x+16} \right )\\(g\circ h)(x)&=&\frac{3}{x^2+8x+16} \end{align*}$

3. $(h\circ g\circ f)(x)$ =…?

* fungsi $f(x)$ disubtitusikan terlebih dahulu ke fungsi $g(x)$ nah, hasilnya baru disubtitusikan ke fungsi $h(x)$ , perhatikan warna mewakili subtitusi ….ok!

$\begin{align*}(h\circ g\circ f)(x)&=&{\color{DarkGreen} h}({\color{Blue} g}({\color{Red} f(x)}))\\&=&{\color{DarkGreen} h}({\color{Blue} g}({\color{Red} 2x+1}))\\&=&{\color{DarkGreen} h}({\color{Blue} 3}({\color{Red} 2x+1})^{\color{Blue} 2})\\&=&{\color{DarkGreen} h}(3(4x^2+4x+1))\\&=&{\color{DarkGreen} h}(12x^2+12x+3)\\&=&\frac{{\color{DarkGreen} 1}}{\left (12x^2+12x+3 \right ){\color{DarkGreen} +4}}\\&=&\frac{1}{12x^2+12x+7}\end{align*}$

Bagaimana contoh diatas???sudah cukup jelas,kan???!!
Berhati-hatilah dalam mensubtitusikan ya….

Mencari salah satu fungsi jika komposisi fungsi diketahui

1. Mencari $g(x)$ jika $f(x)$ dan $(f\circ g)(x)$ diketahui

contoh soal dan pembahasan :

Diketahui $(f\circ g)(x)=19-6x$ dan ${\color{Red} f(x)=3x+1}$ tentukan fungsi ${\color{Blue} g(x)}$ !

jawab :

$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=&19-6x\\{\color{Red} f}({\color{Blue} g(x)})&=&19-6x\\{\color{Red} 3(}{\color{Blue} g(x)}{\color{Red} )+1}&=&19-6x\\{\color{Red} 3(}{\color{Blue} g(x)}{\color{Red} )}&=&19-6x{\color{Red} -1}\\{\color{Blue} g(x)}&=&\frac{18-6x}{3}\\{\color{Blue} g(x)}&=&6-2x \end{align*}$

2. Mencari $f(x)$ jika $g(x)$ dan $(f\circ g)(x)$ diketahui

contoh soal dan pembahasan :

Diketahui $(f\circ g)(x)=2x+1$ dan ${\color{Blue} (g)(x)=x+3}$ tentukan ${\color{Red} f(x)}$ !

jawab :

$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=&2x+1\\f({\color{Blue} g(x)})&=&2x+1\\f({\color{Blue} x+3})&=&2x+1\end{align*}$

Kita misalkan dulu :

$\begin{align*}{\color{Blue} x+3}&=&{\color{DarkGreen} y}\\x&=&{\color{DarkGreen} y-3}\end{align*}$

Subtitusikan kembali ke fungsi :

$\begin{align*}f({\color{Blue} x+3})&=&2x+1\\f({\color{DarkGreen} y})&=&2({\color{DarkGreen} y-3})+1\\f({\color{DarkGreen} y})&=&2y-6+1\\f({\color{DarkGreen} y})&=&2y-5\\f(x)&=&2x-5\end{align*}$

****

Tag : Education

2 Komentar untuk "Materi SMA : Fungsi (Relasi) Matematika"

Balas

bola indonesia

February 13, 2013 at 4:07 PM

Sangat bermanfaat bagi yang lagi belajar.
Tapi jujur aja ane puyeng banget waktu jaman dulu sekolah sama yang namanya MAT, apalagi FISIKA, mending pelajaran afalan deh. Hahaha

Naufaldi

February 14, 2013 at 11:20 AM

setuju.. kalau saya sendiri lebih menyukai pelajaran fisika..hehe

Komentarlah Dengan Baik dan Benar. Jangan ada SPAM dan beri kritik saran kepada blog ILMU DUNIA DAN AKHIRAT.

Mengingat Semakin Banyak Komentar SPAM maka setiap komentar akan di seleksi. :)

"Barangsiapa beriman kepada Allah dan hari akhir hendaklah berbicara yang baik-baik atau diam." (HR. Bukhari)

>TERIMA KASIH<

Materi SMA : Fungsi (Relasi) Matematika

Previous

Next

2 Komentar untuk "Materi SMA : Fungsi (Relasi) Matematika"